Xavier Pinel, PhD defense : May 18, 2010
Un préconditionnement perturbé à deux niveaux pour la résolution de problèmes d'Helmholtz hétérogènes dans le cadre d'une application en géophysique
A perturbed two-level preconditioner for the solution of three-dimensional heterogeneous Helmholtz problems with applications to geophysics
Xavier PINEL
Tuesday May 18, 14h00 at CERFACS
Jury
- Hélène Barucq : Research director, INRIA and University of Pau, France (Referee)
- Henri Calandra : Senior advisor, TOTAL, France
- Iain Duff : Professor, RAL and CERFACS, UK
- Andreas Frommer : Professor, University of Wuppertal, Germany (Referee)
- Serge Gratton : Professor, ENSEEIHT and INPT/IRIT, France (PhD advisor)
- Cornelis Oosterlee : Professor, Delft University of Technology and CWI Amsterdam,The Netherlands (Referee)
- Xavier Vasseur : Senior researcher, CERFACS, France (PhD co-advisor)
Résumé
Le sujet de cette thèse est le développement de méthodes itératives permettant la résolution de grands systèmes linéaires creux d'équations présentant plusieurs seconds membres simultanément. Ces méthodes seront en particulier utilisées dans le cadre d'une application géophysique: la migration sismique visant à simuler la propagation d'ondes sous la surface de la terre. Le problème prend la forme d'une équation d'Helmholtz dans le domaine fréquentiel en trois dimensions, discrétisée par des différences finies et donnant lieu à un système linéaire creux, complexe, non-symétrique, non-hermitien. De plus, lorsque de grands nombres d'onde sont considérés, cette matrice possède une taille élevée et est indéfinie. Du fait de ces propriétés, nous nous proposons d'étudier des méthodes de Krylov préconditionnées par des techniques hiérarchiques deux niveaux. Un tel preconditionnement s'est montré particulièrement efficace en deux dimensions et le but de cette thèse est de relever le défi de l'adapter au cas tridimensionel. Pour ce faire, des méthodes de Krylov sont utilisées à la fois comme lisseur et comme méthode de résolution du problème grossier. Ces derniers choix induisent l'emploi de méthodes de Krylov dites flexibles.
Abstract
The topic of this PhD thesis is the development of iterative methods for the solution of large sparse linear systems of equations with possibly multiple right-hand sides given at once. These methods will be used for a specific application in geophysics - seismic migration - related to the simulation of wave propagation in the subsurface of the Earth. Here the three-dimensional Helmholtz equation written in the frequency domain is considered. The finite difference discretization of the Helmholtz equation with the Perfect Matched Layer formulation produces, when high frequencies are considered, a complex linear system which is large, non-symmetric, non-Hermitian, indefinite and sparse. Thus we propose to study preconditioned flexible Krylov subspace methods, especially minimum residual norm methods, to solve this class of problems. As a preconditioner we consider multi-level techniques and especially focus on a two-level method. This two-level preconditioner has shown efficient for two-dimensional applications and the purpose of this thesis is to extend this to the challenging three-dimensional case. This leads us to propose and analyze a perturbed two-level preconditioner for a flexible Krylov subspace method, where Krylov methods are used both as a smoother and as an approximate coarse grid solver.
