Présentation

Bennett et al. (1996) [1] ont montré que pour une corrélation temporelle de Markov ( $e^{-\frac{\vert t-t'\vert}{\tau}}$), le produit de convolution peut-être obtenu par la résolution de deux équations de Langevin.

Considérons l'équation suivante :

$$\varphi(t) = \int_{0}^{T} e^{-\frac{\vert t-t'\vert}{\tau}} \lambda(t') dt'$$ (A.1)

Où $\lambda(T)=0$ et où les dépendances spatiales de $\varphi$ et $\lambda$ sont omises pour des soucis de clarté.

La solution proposée par Bennet et al. [1] est de remarquer que $\varphi$ est la solution de :

$$\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}-\ta... ...i}{\partial t} + \tau^{-1} \varphi = 0 & \textrm{pour $t=T$} \end{array}\right.$$ (A.2)

La démonstration peut-être retrouvée dans "Inverse problem theory" de Tarantola [14] au chapitre 7 pages 572-576.

Cette équation (A.2), comme le montre Ngodock (2005) [11], peut-être décomposée en deux équations à résoudre l'une après l'autre. D'abord celle-ci :

$$\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial \alpha}{\partial t} + \tau^... ...pha = -2\tau^{-1}\lambda & 0 \leq t \leq T \\ \alpha(0) = 0 \end{array}\right.$$ (A.3)

Ensuite, en utilisant la solution $\alpha$, celle-là :

$$\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial \varphi}{\partial t} - \tau... ... & 0 \leq t \leq T \\ \varphi(T) = -\frac{\tau}{2}\alpha(T) \end{array}\right.$$ (A.4)

En effet, en dérivant, l'équation A.4, on obtient :

$$\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} - \tau^{-1}\frac{\partial \varphi}{\partial t} = \frac{\partial \alpha}{\partial t}$$ (A.5)

Et en substituant avec les équations A.3 et A.4 :

$$\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} - \tau^{-1}(\alpha + \tau^{-1} \varphi) = -\tau^{-1} \alpha - 2 \tau^{-1} \lambda$$ (A.6)

En simplifiant, on retrouve l'équation A.2 :

$$\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} - \tau^{-2} \varphi = -2\tau^{-1} \lambda$$ (A.7)

Les conditions limites de A.2 peuvent être obtenues en réinjectant les conditions limites de A.3 et A.4 dans A.7.