Les conditions limites

Comme il faut appliquer deux fois le filtre récursif pour obtenir une fonction auto-regressive du second ordre, il est nécessaire de calculer les conditions limites pour chaque application du filtre. En se référant aux travaux de Purser et al (2002) [13] et de Hayden et Purser (1995) [7], les conditions limites peuvent être calculées de la manière suivante.

En écrivant le filtre récursif (A.13) sous forme matricielle, on a :

$$\left\{ \begin{array}{ll} Aq = p \\ Bs = q \end{array}\right.$$ (A.27)

avec

$$A = \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{1-\alpha} & 0 & \cdots \ ... ...frac{1}{1-\alpha} \\ \vdots & 0 & \frac{-\alpha}{1-\alpha} \end{array} \right) B = \left( \begin{array}{cccc} \frac{1}{1-\alpha} & \frac{-\alpha... ...pha}{1-\alpha} \\ \vdots & \vdots & 0 & \frac{1}{1-\alpha} \end{array} \right)$$

Ce système peut donc être résolu en inversant les matrices :

$$\left\{ \begin{array}{ll} q = A^{-1}p \\ s = B^{-1}q \end{array}\right.$$ (A.28)

Ainsi :

$$s = B^{-1}A^{-1}p$$ (A.29)

Sur une grille infinie, $s$ est symétrique et on a :

$$s = B^{-1}A^{-1}p \equiv A^{-1}B^{-1}p$$ (A.30)

Si on travaille sur un domaine fini tel que $i \in [1,n]$, alors les éléments à l'extérieur de cet intervalle sont nuls à l'origine et ne sont modifiés que par $B$ pour $i < 1$ et par $A$ pour $i > n$.

Les conditions limites sont donc définie par :

$$B^n q_0^n = p_0^0 = 0$$ (A.31)

$$A^n s_{n+1}^n = p_{n+1}^0 = 0$$ (A.32)

Où l'indice sur $p$, $q$ et $s$ indique le nombre d'applications du filtre.

Il faut ensuite compléter par le nombre d'équations nécessaires pour fermer le système.