Conditions limites pour $i=n+1$

Quand le filtre $A$ a été appliqué une seule fois, on a le système suivant :

$$\left\{ \begin{array}{ll} A^1 s_{n+1}^1 = s_{n+1}^1 - \alpha s_{n+1}^1 = 0 \\ s_n^1 = (1-\alpha) q_n^1 + \alpha q_{n+1}^1 \end{array}\right.$$ (A.39)

Soit :

$$s_n^1 = \frac{1-\alpha}{1-\alpha^2} q_n^1$$

$$s_n^1 = \frac{1}{1+\alpha} q_n^1$$ (A.40)

Quand le filtre $A$ a été appliqué une deuxième fois, on a le système suivant :

$$\left\{ \begin{array}{ll} A^2 s_{n+1}^2 = \alpha^2 s_{n-1}^2 - 2 \al... ..._{n+1}^2 \\ s_{n-1}^2 = (1-\alpha) q_{n-1}^2 + \alpha s_n^2 \end{array}\right.$$ (A.41)

Soit :

$$s_n^2 = \frac{1-\alpha}{(1+\alpha^2)^2} \big( q_n^2 - \alpha^3 q_{n-1}^2 \big)$$ (A.42)

Quand le filtre $A$ a été appliqué une troisième fois, on a le système suivant :

$$\left\{ \begin{array}{ll} A^3 s_{n+1}^3 = -\alpha^3 s_{n-2}^3 + 3\al... ... \\ s_{n-2}^3 = (1-\alpha) q_{n-2}^3 + \alpha s_{n-1}^3 \\ \end{array}\right.$$ (A.43)

Soit :

$$s_n^2 = \frac{1-\alpha}{(1+\alpha^2)^3} \big( -q_n^3 + (3-\alpha^2)\alpha^3 q_{n-1}^3 - \alpha^4 q_{n-2}^3 \big)$$ (A.44)

Et ainsi de suite pour chaque application du filtre $A$.