Perturbation de la température de surface

Pour perturber les forçages en température de surface de l'océan, des différences journalières ont été calculées entre les produits suivant pour la période 1951-1980 :

Et entre les produits suivants pour la période 1981-2001 qui contient les observations satellitaires :

A partir de ces différences journalières, des tirages aléatoires sur les années et sur les jours du mois courant ont permis de construire les perturbations journalières. Ces perturbations reflètent les incertitudes sur les températures de surface de l'océan, mais contrairement aux perturbations sur les tensions de vents, ces perturbations sont totalement décorrélées dans le temps. Pour obtenir des perturbations journalières corrélées dans le temps (t) un filtre récursif (Tarantola 1987 [14], Lorenc 1992 [10], Hayden and Purser 1995 [7] et Daget 2006 [4]) a été appliqué pour simuler une convolution avec une fonction de corrélation, à savoir une fonction autorégressive du second ordre (Gneiting 1999 [6]),

$\displaystyle b(t)$

$\textstyle =$

$\displaystyle \Big( 1 + \frac{\vert t\vert}{\tau} \Big) e^{- \frac{\vert t\vert}{\tau}}$

(3.1)

où $\tau$ est l'échelle de corrélation. Dans notre cas, l'échelle de corrélation est fixée à sept jours.

Dans notre application, la fonction de corrélation désirée est une fonction auto-régréssive du second ordre (SOAR). Il ne faut donc appliquer le filtre qu'une seule fois. En effet, comme le montre Weaver et Courtier 2001 [15], la matrice d'auto-corrélation

peut être écrite :

$\displaystyle C$	$\textstyle =$	$\displaystyle \Lambda R^{1/2} W^{-1} R^{T/2} \Lambda$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \bigg( \Lambda R^{1/2} W^{-1/2} \bigg) \bigg( \Lambda R^{1/2} W^{-1/2} \bigg)^T$
	$\textstyle =$	$\displaystyle C^{1/2} C^{T/2}$	(3.2)

Avec $\Lambda$ la matrice de normalisation,

l'opérateur de corrélation et

la matrice des facteurs d'échelle.

Si on définit une perturbation gaussienne $\delta v$ ( $E[\delta v]=0$ et $E[\delta v \delta v^T]=I$ ), alors en la filtrant, on obtient $\delta x$ tel que :

$\displaystyle \delta x$	$\textstyle =$	$\displaystyle \Lambda R^{1/2} W^{-1/2} \delta v$
	$\textstyle =$	$\displaystyle C^{1/2} \delta v$	(3.3)

$\displaystyle E[\delta x \delta x^T]$	$\textstyle =$	$\displaystyle C^{1/2} E[\delta v \delta v^T] C^{T/2}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle C^{1/2} C^{T/2}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle C$	(3.4)

On voit alors qu'il suffit d'appliquer la racine de la fonction de corrélation pour obtenir l'auto-corrélation recherchée de la variable filtrée.

Les hoevmoller de la figure 3.3 permettent de bien voir l'impact du filtre récursif, et donc de la fonction de corrélation appliquée. Le champs initial est ainsi totalement décorrélé. Les figures 3.3(b), 3.3(c) et 3.3(d) montrent l'impact de la fonction de corrélation SOAR pour différentes échelles de corrélation.

**Figure 3.3:** Hoevmoller de l'année 1993 représentant les perturbations de SST pour une latitude de $56^{\circ }$ sud.
[non corrélé] $\includegraphics[width=0.23\textwidth]{pert1_sst.eps.gz}$ [corrélation à 5 jours] $\includegraphics[width=0.23\textwidth]{pert1_sst_5days.eps.gz}$ [corrélation à 7 jours] $\includegraphics[width=0.23\textwidth]{pert1_sst_7days.eps.gz}$ [corrélation à 10 jours] $\includegraphics[width=0.23\textwidth]{pert1_sst_10days.eps.gz}$

Les figures 3.4(a) et 3.4(b) montrent le champs de la SST perturbé à une date donnée (le 1^er janvier 1993). On peut ainsi constater les modifications apportées à la structure du champs par la fonction de corrélation. On voit ainsi que les structures les plus marquées apparaîssent dans tout les cas. Par contre, pour les structures les moins intenses, la fonction de corrélation a tendance, logiquement, à les modifier complètement.

**Figure 3.4:** Perturbation de la SST pour le 1^er janvier 1993
[non corrélé] $\includegraphics[width=0.4\textwidth]{pert1_sst_19930101.eps.gz}$ [corrélation à 7 jours] $\includegraphics[width=0.4\textwidth]{pert1_sst_7days_19930101.eps.gz}$

Ces perturbations sont ensuite interpolées sur la grille du modèle (ORCA2) en utilisant la même méthode que pour la température de surface de l'océan.

La figure 3.5 représente quatre différentes perturbations de SST à la date du 1^er janvier 1993.

**Figure 3.5:** Perturbations de SST le 1^er janvier 1993
[perturbation 1] $\includegraphics[width=0.40\textwidth]{sst1.eps.gz}$ [perturbation 2] $\includegraphics[width=0.40\textwidth]{sst2.eps.gz}$ [perturbation 3] $\includegraphics[width=0.40\textwidth]{sst3.eps.gz}$ [perturbation 4] $\includegraphics[width=0.40\textwidth]{sst4.eps.gz}$