Aspects théoriques

Le calcul des variances d'erreur des observations est basée sur les travaux de Fu et al. 1993 [2] et Fukumori 2000 [3]. Il s'effectue préalablement les expériences d'assimilation de données. Il utilise les écarts des observations au modèle obtenu lors d'une expérience libre, c'est-à-dire sans assimilation. Ce cadre s'adapte très bien à l'utilisation d'OPAVAR qui est un outils de recherche. En effet, les expériences sont toujours effectuées avec le même jeu de données. Les variances d'erreur obtenues seront donc tout à fait cohérentes avec l'utilisation qui en sera faite ultérieurement.

L'estimateur de ces variances d'erreur des observations suppose l'indépendance et la stationnarité des différentes erreurs et du signal.

En définissant $y$ comme la valeur des observations et $m$ comme son équivalent modèle tel que $m=\mathcal{H}(x)$, c'est-à-dire la valeur du modèle interpolée au point d'observation, alors $y$ et $m$ peuvent être défini comme la somme du signal vrai $s=\mathcal{H}(\tilde{x})$ et de leurs erreurs respectives $r$ et $p$ :

$$y = s + r$$ (3.1)

$$m = s + p$$ (3.2)

En supposant que le signal vrai et les deux erreurs sont tous mutuellement décorrélés et avec une moyenne nulle, alors les covariances entre les observations et le modèle peuvent s'écrire :

$$\langle yy^T \rangle = \langle ss^T \rangle + \langle rr^T \rangle$$ (3.3)

$$\langle mm^T \rangle = \langle ss^T \rangle + \langle pp^T \rangle$$ (3.4)

$$\langle ym^T \rangle = \langle ss^T \rangle$$ (3.5)

En faisant l'hypothèse d'ergodicité, il est possible de remplacer les espérances statistiques par des moyennes spatiales et/ou temporelles. En substituant l'équation 3.5 dans les équations 3.3 et 3.4, les covariances d'erreur d'observations et du modèle peuvent s'écrire :

$$\langle rr^T \rangle = \langle yy^T \rangle - \langle ym^T \rangle$$ (3.6)

$$\langle pp^T \rangle = \langle mm^T \rangle - \langle ym^T \rangle$$ (3.7)

L'équation 3.6 peut ainsi servir à calculer les variances d'erreur d'observations.