Analyse de Cressman and Co

Il est possible de définir une méthode d'analyse telle que l'état analysé soit égale aux observations dans leur voisinage et égale à un état arbitraire partout ailleurs. Par exemple une climatologie ou une précédente prévision. Cette méthode s'apparente au schéma d'analyse de Cressman qui est souvent utilisé pour des systèmes d'assimilation simples.

L'état du modèle est supposé être univarié et représenté par les valeurs aux points de grille. En définissant ${\mathbf x}^b$ comme une estimation a priori de l'état du modèle provenant d'une climatologie, d'une persistance ou d'une prévision antérieure et ${\mathbf y}^o_i$ comme une série de $N$ observations d'un même paramètre, une simple analyse de Cressman permet d'obtenir un état analysé du modèle ${\mathbf x}^a$ défini en chaque point de grille $j$ telle que :

$${\mathbf x}^a_j = {\mathbf x}^b_j + \frac{\sum_{i=1}^N w_{i,j} ({\mathbf y}^o_i - {\mathbf x}^b_i)} {\sum_{i=1}^N w_{i,j}}$$ (3.1)

$$w_{i,j} = \max \Big(0,\frac{R^2 - d_{i,j}^2}{R^2 + d_{i,j}^2} \Big)$$ (3.2)

où $d_{i,j}$ est la distance entre les points $i$ et $j$, ${\mathbf x}^b_i$ est l'état d'ébauche interpolé au point $i$ et $w_{i,j}$ est une fonction de poids dont le maximum est égale à un quand le point de grille $j$ est situé sur l'observation $i$ et qui décroît en fonction de la distance entre $i$ et $j$ pour devenir nulle quand $d_{i,j} > R$. $R$ est donc défini comme un rayon d'influence au-delà duquel les observations n'ont plus d'influence. Un exemple d'une analyse de Cressman mono-dimensionnelle est représenté Fig. 3.2.

Figure 3.2: Exemple d'une analyse de Cressman mono-dimensionnelle. L'état de l'ébauche est représenté par la courbe noire pointillée, les observations par les points noirs et l'état analysé par la courbe grise.

D'autres variantes de la méthode de Cressman existent. La fonction de poids peut être, par exemple, redéfinie telle que $w_{i,j}=\exp (-d_{i,j}^2 / 2R^2 )$. Une méthode particulièrement connue est l'observation nudging qui a plusieurs caractéristiques intéressantes. La fonction de poids est toujours inférieure à un même quand le point de grille $i$ est superposé à l'observation $j$. Il s'agit alors d'une moyenne pondérée entre l'ébauche et les observations. Il est aussi possible de faire plusieurs mises à jour et donc d'utiliser l'Eq. 3.1 de manière itérative afin d'obtenir une correction de l'état analysé plus lisse.