Best Linear Unbiased Estimation

BLUEBest Linear Unbiased Estimation Connaissant la matrice de covariance d'erreur d'analyse, il est possible d'essayer de minimiser son erreur scalaire ( $\mathrm{Tr}({\mathbf A})$). Il doit donc exister un gain optimal ${\mathbf K}^*$ qui peut être obtenu en étudiant la variation de l'erreur scalaire d'analyse sous une variation du gain. Comme la trace est une fonction scalaire continue et différentiable des coefficients de ${\mathbf K}$, il est possible d'exprimer sa dérivé $d_{{\mathbf K}}$ au premier ordre :

$$d_{{\mathbf K}}\left(\mathrm{Tr}({\mathbf A})\right) = \mathrm{Tr}\left( -{\mathbf H}{\mathbf B}\mathbf{L}^T - \mathbf{L... ...hbf B}{\mathbf H}^T + {\mathbf R}{\mathbf K}^T + {\mathbf K}{\mathbf R} \right)$$

$$= \mathrm{Tr}\left( {\mathbf R}{\mathbf K}^T -{\mathbf H}{\mathbf B... ...rm{Tr}\left( {\mathbf K}{\mathbf R}- \mathbf{L}{\mathbf B}{\mathbf H}^T \right)$$

$$= 2\mathrm{Tr}\left( {\mathbf K}{\mathbf R}-\mathbf{L}{\mathbf B}{\mathbf H}^T \right)$$ (4.8)

L'équation 4.8 est obtenue en utilisant des propriétés de l'algèbre linéaire telles que la trace est linéaire ( $\mathrm{Tr}({\mathbf B}+\alpha{\mathbf R})=\mathrm{Tr}({\mathbf B})+\alpha\mathrm{Tr}({\mathbf R})$), la trace de la transposée égale la trace ( $\mathrm{Tr}({\mathbf B}^T)=\mathrm{Tr}({\mathbf B})$) et les matrices symétriques sont égales à leurs transposées ( ${\mathbf B}^T={\mathbf B}$).

Pour obtenir le gain optimal ${\mathbf K}^*$, il faut que $d_{{\mathbf K}}\left(\mathrm{Tr}({\mathbf A})\right)=0$. L'équation 4.8 donne alors le résultat suivant :

$${\mathbf K}^*{\mathbf R}-\mathbf{L}{\mathbf B}{\mathbf H}^T = 0,$$

$${\mathbf K}^*{\mathbf R}-({\mathbf I}-{\mathbf K}^*{\mathbf H}){\mathbf B}{\mathbf H}^T = 0,$$

$${\mathbf K}^*({\mathbf R}+{\mathbf H}{\mathbf B}{\mathbf H}^T) = {\mathbf B}{\mathbf H}^t.$$ (4.9)

A l'optimalité, on a donc un gain égale

$${\mathbf K}^* = {\mathbf B}{\mathbf H}^T({\mathbf R}+{\mathbf H}{\mathbf B}{\mathbf H}^T)^{-1}.$$ (4.10)

Avec ce gain optimal, il est alors possible d'estimer ${\mathbf x}^a$ et ${\mathbf A}$. C'est une estimation BLUE (Best Linear Unbiased Estimation) car elle est linéaire (Eq. 4.1), sans biais (Eq. 4.3) et optimale (Eq. 4.9).