Formule de Sherman-Morrison-Woodbury

Le gain optimal est, en général, donné sous la forme de l'Eq. 4.10. Cependant, il peut être réécrit sous la forme :
$\displaystyle {\mathbf K}^*$ $\textstyle =$ $\displaystyle {\mathbf B}{\mathbf H}^T({\mathbf H}{\mathbf B}{\mathbf H}^T+{\mathbf R})^{-1},$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \left( {\mathbf B}^{-1}+{\mathbf H}^T{\mathbf R}^{-1}{\mathbf H}\...
...{\mathbf B}{\mathbf H}^T({\mathbf H}{\mathbf B}{\mathbf H}^T+{\mathbf R})^{-1},$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \left( {\mathbf B}^{-1}+{\mathbf H}^T{\mathbf R}^{-1}{\mathbf H}\...
... B}{\mathbf H}^T\right) ({\mathbf H}{\mathbf B}{\mathbf H}^T+{\mathbf R})^{-1},$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \left( {\mathbf B}^{-1}+{\mathbf H}^T{\mathbf R}^{-1}{\mathbf H}\...
... B}{\mathbf H}^T\right) ({\mathbf H}{\mathbf B}{\mathbf H}^T+{\mathbf R})^{-1},$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \left( {\mathbf B}^{-1}+{\mathbf H}^T{\mathbf R}^{-1}{\mathbf H}\right)^{-1} {\mathbf H}^T{\mathbf R}^{-1}.$ (4.11)

Cette autre formule est du gain optimal permet de changer l'espace dans lequel il faut faire une inversion matricielle. En effet, dans l'Eq. 4.10, il faut inverser ${\mathbf R}+{\mathbf H}{\mathbf B}{\mathbf H}^T$ dans l'espace des observations, tandis qu'avec l'Eq. 4.11, il faut maintenant inverser ${\mathbf B}^{-1}+{\mathbf H}^T{\mathbf R}^{-1}{\mathbf H}$ dans l'espace du modèle. Comme, en général, l'espace des observations est plus petit que celui du modèle, l'Eq. 4.10 est beaucoup plus souvent utilisée car bien moins coûteuse.

Nicolas Daget 2007-11-16