Corrélation de l'analyse et de son erreur

Une dernière autre caractéristique intéressante du BLUE peut être obtenue en calculant la covariance entres l'analyse et son erreur $E[{\mathbf x}^a(\boldsymbol {\epsilon}^a)^T]$. En supposant que l'ébauche est décorrélée de son erreur $E[{\mathbf x}^b(\boldsymbol {\epsilon}^b)^T]=0$ ainsi que de l'erreur d'observation $E[{\mathbf x}^b(\boldsymbol {\epsilon}^o)^T]=0$, que les erreurs d'ébauche et d'observation sont mutuellement décorrélées $E[\boldsymbol {\epsilon}^b(\boldsymbol {\epsilon}^o)^T]=0$ et en utilisant les Eqs. 4.4, 4.5 et 4.16, alors :

$$E[{\mathbf x}^a(\boldsymbol {\epsilon}^a)^T] = E\left[ \left({\mathbf x}^b + {\mathbf K}(\boldsymbol {\epsilon}^... ...})\boldsymbol {\epsilon}^b+{\mathbf K}\boldsymbol {\epsilon}^o\right)^T \right]$$

$$= E\left[ \left({\mathbf K}(\boldsymbol {\epsilon}^o-{\mathbf H}\bo... ...})\boldsymbol {\epsilon}^b+{\mathbf K}\boldsymbol {\epsilon}^o\right)^T \right]$$

$$= {\mathbf K}E[\boldsymbol {\epsilon}^o(\boldsymbol {\epsilon}^o)^T... ...{\epsilon}^b(\boldsymbol {\epsilon}^b)^T]({\mathbf I}-{\mathbf K}{\mathbf H})^T$$

$$= {\mathbf K}\left( {\mathbf R}{\mathbf K}^T - {\mathbf H}{\mathbf B}({\mathbf I}-{\mathbf K}{\mathbf H})^T\right)$$ (4.17)

A l'optimalité et en reprenant l'Eq. 4.9, on trouve alors que $E[{\mathbf x}^a(\boldsymbol {\epsilon}^a)^T]=0$. Ainsi, sous ces hypothèses classiques, l'analyse est décorrélées de son erreur. En mathématique, on parle alors d'orthogonalité. Le BLUE associe donc optimalité avec orthogonalité.