Extension des méthodes variationnelles

A partir de la formulation variationnelle (Eq. 4.18), il est très facile de remplacer l'opérateur d'observation linéaire ${\mathbf H}$ par un opérateur non linéaire $H$. Dans ce cas, il faut introduire l'opérateur tangent-linéaire de $H$ en ${\mathbf x}$ noté ${\mathbf H}^T$. La fonction coût devient alors

$$J({\mathbf x}) = \frac{1}{2}({\mathbf x}-{\mathbf x}^b)^T{\mathbf B}^{-1}({\mathbf... ...}{2}({\mathbf y}^o-H{\mathbf x})^T{\mathbf R}^{-1}({\mathbf y}^o-H{\mathbf x}),$$ (4.23)

et son gradient

$$\nabla J({\mathbf x}) = {\mathbf B}^{-1}({\mathbf x}-{\mathbf x}^b)-{\mathbf H}^T{\mathbf R}^{-1}({\mathbf y}^o-H{\mathbf x}).$$ (4.24)

Cette extension de la méthode variationnelle à des cas non-linéaires est donc très simple, alors qu'elle n'est pas possible dans le cadre du BLUE.

Il est, par ailleurs, possible de modifier la fonction coût de telle sorte que la nouvelle fonctionnelle s'optimise dans l'espace des observations et non dans celui du modèle. Ce formalisme se nomme PSAS pour Physical Space Assimilation System et est particulièrement utile lorsque le nombre d'observations est plus faible que le nombre de variables du modèle.

Enfin, la formulation variationnelle a un avantage important sur le BLUE en cela qu'elle ne nécessite pas d'inverser la matrice ${\mathbf R}+{\mathbf H}{\mathbf B}{\mathbf H}^T$. En effet, pour minimiser la fonction coût, il suffit de calculer le produit d'un vecteur par les inverses de ${\mathbf B}$ et${\mathbf R}$. Ce qui, au niveau algorithmique, est beaucoup plus rapide.