Filtre SEIK

SEIKSingular Evolutive Interpolation Kalman filter Le filtre de Kalman étendu peut présenter des instabilités en présence de fortes non-linéarités jusqu'à, parfois, diverger complètement (Evensen, 1992 ; Gauthier , 1994 et Kushner, 1967). Une possibilité pour tenter de résoudre cette difficulté est de remplacer la linéarisation dans le filtre de Kalman étendu par un développement de Taylor d'ordre supérieur. Malheureusement, cette approche n'est pas envisageable sur des systèmes de grandes dimensions comme l'océanographie. Une autre approche est possible en utilisant des méthodes stochastiques de type Monte Carlo pour estimer l'évolution de la matrice de covariance d'erreur par un nuage d'états centrés autour de l'état courant et donc la matrice de covariance empirique est celle de la matrice considérée. Cette approche, introduite par Evensen en 1994 avec son filtre de Kalman d'ensemble, est un très bon moyen pour traiter les modèles d'évolution fortement non-linéaires. Cette méthode sera présentée dans la section 5.3. Néanmoins, cette méthode est limitée par la taille de l'échantillon à considérer.

En 2001, Pham ont proposé une variante du filtre de SEEK, appelé filtre de Kalman Singulier Évolutif Interpolé (SEIK), dans lequel la taille de l'échantillon est, en un certain sens, minimale. En effet, il substitue à la linéarisation opérée dans le filtre de Kalman étendu et dans le SEEK une interpolation sur un échantillon d'états bien choisis propagés dans l'étape de prévision. L'idée du SEIK est donc de faire évoluer la matrice de covariance d'erreur à l'aide d'un nuage de points de taille raisonnable. Dans ce but, Pham a émit l'hypothèse de rang faible $r$ de la matrice de covariance d'erreur pour réduire la taille du nuage de points à $r+1$ points exactement. L'autre originalité de ce filtre réside dans le choix des états d'interpolation qui sont tirés au hasard à chaque pas de filtrage afin de ne pas privilégier une direction particulière de l'espace d'état. La Fig. 5.2 permet de mettre en évidence les différentes étapes nécessaire au filtre SEIK.

Figure: Représentation schématique des différentes étapes du filtre SEIK lors d'un cycle d'assimilation du temps $t_i$ au temps $t_{i+1}$. L'indice $k$ variant de $1$ à $r+1$ représente les différents membres du nuage de points.