Conclusion

$\parbox{100truemm}{\fontfamily{\sfdefault}\fontseries{l}\fontshape{n... ...ries{m}\fontshape{sl}\selectfont \large{ Jacques Amyot \emph{in} Pompée, 47 }}$

L'objectif de cette conclusion est de mettre en évidence les avantages des différentes méthodes dans le cadre d'une utilisation réaliste. Comme il a déjà été montré dans la section 4.6, le BLUE peut-être écrit de manière variationnelle. De ces deux écritures découlent, globalement, deux façons d'aborder le problème de l'assimilation de données. La première est construite autour des filtres de Kalman, tandis que la seconde utilise l'approche variationnelle. Dans un cadre linéaire, le filtre de Kalman étendu et le 4D-Var sont identiques à l'optimalité. De ce point de vue, il est difficile de s'orienter vers une méthode plutôt qu'une autre.

Dans la pratique, les systèmes étudiés sont souvent de grandes tailles et non-linéaires. C'est le cas en météorologie ou en océanographie. Le coût de calcul devient alors une contrainte très forte sur le choix de la méthode d'assimilation. Le filtre de Kalman et sa version étendue ainsi que le 4D-Var sont, en général, inaccessibles. Il existe néanmoins des approximations qui permettent de réduire notablement les coûts de calculs. Pour le filtre de Kalman, il existe tout une série de filtres réduits (SEEK, SEIK, SFEK, EnKF...). L'approche variationnelle peut aussi se décliner dans sa version incrémentale et 3D-Var.

Dans le filtre de Kalman, les matrices de covariances d'erreur sont propagées explicitement. Au contraire, dans les méthodes variationnelles, elles doivent être construites. Cette différence est un des aspects les plus positifs du filtre de Kalman comparée à l'approche variationnelle. Cependant, d'une certaine manière, la complexité du filtre de Kalman est reportée sur la matrice de covariance d'erreur modèle. Ainsi, l'avantage du filtre de Kalman disparaît quasiment pour les filtres réduits où de nombreuses hypothèses et contraintes sont rajoutées en plus pour diminuer les coûts de calcul. L'approche variationnelle, qui nécessite la définition d'opérateurs pour modéliser les matrices de covariances d'erreur, a ainsi l'intérêt de travailler sur l'espace complet du vecteur d'état et à haute résolution. D'un côté, il y a donc des matrices de rang réduit propagées explicitement, de l'autre il y a des matrices de rang complet modélisées par des opérateurs. Ces deux approches ont donc, toutes les deux, des défauts.

Les problèmes de non-linéarités sont très importants et le deviennent actuellement de plus en plus. En effet, la résolution des modèles d'évolution ne cesse d'augmenter et les phénomènes non-linéaires sont de plus en plus présents. Le filtre de Kalman étendu et le 4D-Var sont bien adaptés pour répondre à ces problèmes de non-linéarités. Malheureusement, les versions réduites du filtre de Kalman étendu et l'approche incrémentale du 4D-Var perdent une partie de ces capacités. Aucune des deux approches n'a, aujourd'hui, fait la preuve d'une plus grande efficacité.

La prise en compte de l'erreur modèle dans le filtre de Kalman est un aspect très intéressant. Cependant, en conséquence, le coût de la méthode est important. Le 4D-Var à contrainte faible permet, lui aussi, de tenir compte de l'erreur modèle. De la même manière, les coûts sont importants. Néanmoins, les deux approches permettent d'en tenir compte et ce critère n'est pas pertinent pour faire un choix.

Une qualité intrinsèque de la méthode variationnelle est la possibilité de rajouter d'autres termes à la fonction coût. Il est ainsi possible de rajouter un terme pour l'erreur modèle, mais aussi de rajouter un autre terme pour corriger le biais des observations par exemple.

Un autre point positif de l'approche variationnelle est la facilité de passage entre une 3D-Var FGAT et un 4D-Var. Cet aspect permet d'obtenir un système économique permettant de faire beaucoup de tests avec le 3D-Var FGAT et un système très évolué mais beaucoup plus onéreux avec le 4D-Var.

Ceci met en évidence un des défauts majeur du 4D-Var qui requiert l'écriture du modèle tangent-linéaire et adjoint de modèle non-linéaire. Le codage de ces modèles est souvent long et difficile du fait de la complexité des modèles non-linéaires.

Une autre critique à l'approche variationnelle est qu'elle ne fournit pas a priori d'information sur la matrice de covariance d'erreur d'analyse ${\mathbf A}$. L'ajout de son calcul est possible (Fisher, 1998), mais coûteux.

Concernant les non-linéarités, le filtre de Kalman d'ensemble permet théoriquement une prise en compte efficace par l'utilisation du modèle non-linéaire pour propager l'état des différents membres. Son point faible est la taille de l'ensemble qui doit être conséquente pour que les statistiques calculées soient pertinentes. Néanmoins, cette approche profite de la présence de plus en plus courante d'ensemble nécessaire aux prévisions probabilistes. Si un ensemble est requit pour des raisons extérieures à l'assimilation de données, son utilisation par celle-ci peut-être considérée à coût nul. Cependant, les méthodes variationnelles peuvent aussi utiliser des ensembles à leur profit de la même manière que le filtre de Kalman d'ensemble.

Cette énumération non exhaustive des différents points positifs et négatifs ne permettent pas de faire ressortir clairement une méthode par rapport aux autres. La plupart des centres opérationnels en météorologie ont, pour leur part, opté pour des 4D-Var incrémentaux. Les filtres de Kalman d'ensemble sont aussi actuellement très en vogue. Au CERFACS, c'est l'approche variationnelle qui a été choisie sous sa forme incrémentale et avec la possibilité d'utiliser l'algorithme en tant que 3D-Var FGAT ou 4D-Var.