Conditions limites pour $i=0$

Quand le filtre $B$ n'a jamais été appliqué, on a le système suivant :

$$\left\{ \begin{array}{ll} B^0 q_0^0 = q_0^0 = 0 \\ q_1^0 = (1-\alpha) p_1^0 + \alpha q_0^0 \end{array}\right.$$ (2.33)

Soit :

$$q_1^0 = (1-\alpha) p_1^0$$ (2.34)

Quand le filtre $B$ a été appliqué une seule fois, on a le système suivant :

$$\left\{ \begin{array}{ll} B^1 q_0^1 = q_0^1 - \alpha q_1^1 = 0 \\ q_1^1 = (1-\alpha) p_1^1 + \alpha q_0^1 \end{array}\right.$$ (2.35)

Soit :

$$q_1^1 = \frac{1-\alpha}{1-\alpha^2} p_1^1$$

$$q_1^1 = \frac{1}{1+\alpha} p_1^1$$ (2.36)

Quand le filtre $B$ a été appliqué une deuxième fois, on a le système suivant :

$$\left\{ \begin{array}{ll} B^2 q_0^2 = q_0^2 - 2\alpha q_1^2 + \alpha... ...2 + \alpha q_0^2 \\ q_2^2 = (1-\alpha) p_2^2 + \alpha q_1^2 \end{array}\right.$$ (2.37)

Soit :

$$q_1^2 = \frac{1-\alpha}{(1+\alpha^2)^2} \big( p_1^2 - \alpha^3 p_2^2 \big)$$ (2.38)

Et ainsi de suite pour chaque application du filtre $B$.