Théorie

Dans notre application, les perturbations de la SST doivent être corrélées et la fonction de corrélation désirée est une fonction auto-régréssive du second ordre (SOAR). Il ne faut donc appliquer le filtre qu'une seule fois. En effet, comme le montre Weaver et Courtier (2001) [10], la matrice d'auto-corrélation $C$ peut être écrite :

$$C = \Lambda R^{1/2} W^{-1} R^{T/2} \Lambda$$

$$= \bigg( \Lambda R^{1/2} W^{-1/2} \bigg) \bigg( \Lambda R^{1/2} W^{-1/2} \bigg)^T$$

$$= C^{1/2} C^{T/2}$$ (3.1)

Avec $\Lambda$ la matrice de normalisation, $R$ l'opérateur de corrélation et $W$ la matrice des facteurs d'échelle.

Si on définit une perturbation gaussienne $\delta v$ ($E[\delta v]=0$ et $E[\delta v \delta v^T]=I$), alors en la filtrant, on obtient $\delta x$ tel que :

$$\delta x = \Lambda R^{1/2} W^{-1/2} \delta v$$

$$= C^{1/2} \delta v$$ (3.2)

Et si on calcule l'auto-corrélation de $\delta x$, on trouve :

$$E[\delta x \delta x^T] = C^{1/2} E[\delta v \delta v^T] C^{T/2}$$

$$= C^{1/2} C^{T/2}$$

$$= C$$ (3.3)

On voit alors qu'il suffit d'appliquer la racine de la fonction de corrélation pour obtenir l'auto-corrélation recherchée de la variable filtrée.