Présentation

Bennett et al. (1996) [1] ont montré que pour une corrélation temporelle de Markov ( $e^{-\frac{\vert t-t'\vert}{\tau}}$), le produit de convolution peut-être obtenu par la résolution de deux équations de Langevin.

Considérons l'équation suivante :

$$\varphi(t) = \int_{0}^{T} e^{-\frac{\vert t-t'\vert}{\tau}} \lambda(t') dt'$$ (2.1)

Où $\lambda(T)=0$ et où les dépendances spatiales de $\varphi$ et $\lambda$ sont omises pour des soucis de clarté.

La solution proposée par Bennet et al. [1] est de remarquer que $\varphi$ est la solution de :

$$\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}-\ta... ...i}{\partial t} + \tau^{-1} \varphi = 0 & \textrm{pour $t=T$} \end{array}\right.$$ (2.2)

La démonstration peut-être retrouvée dans "Inverse problem theory" de Tarantola [9] au chapitre 7 pages 572-576.

Cette équation (2.2), comme le montre Ngodock (2005) [6], peut-être décomposée en deux équations à résoudre l'une après l'autre. D'abord celle-ci :

$$\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial \alpha}{\partial t} + \tau^... ...pha = -2\tau^{-1}\lambda & 0 \leq t \leq T \\ \alpha(0) = 0 \end{array}\right.$$ (2.3)

Ensuite, en utilisant la solution $\alpha$, celle-là :

$$\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial \varphi}{\partial t} - \tau... ... & 0 \leq t \leq T \\ \varphi(T) = -\frac{\tau}{2}\alpha(T) \end{array}\right.$$ (2.4)

En effet, en dérivant, l'équation 2.4, on obtient :

$$\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} - \tau^{-1}\frac{\partial \varphi}{\partial t} = \frac{\partial \alpha}{\partial t}$$ (2.5)

Et en substituant avec les équations 2.3 et 2.4 :

$$\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} - \tau^{-1}(\alpha + \tau^{-1} \varphi) = -\tau^{-1} \alpha - 2 \tau^{-1} \lambda$$ (2.6)

En simplifiant, on retrouve l'équation 2.2 :

$$\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} - \tau^{-2} \varphi = -2\tau^{-1} \lambda$$ (2.7)

Les conditions limites de 2.2 peuvent être obtenues en réinjectant les conditions limites de 2.3 et 2.4 dans 2.7.