Discrétisation

Pour résoudre les équations de Langevin (2.3 et 2.4) rappelées ci-dessous, il faut les discrétiser.

$$\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial \alpha}{\partial t} + \tau^... ...ac{\partial \varphi}{\partial t} - \tau^{-1}\varphi = \alpha \end{array}\right.$$ (2.8)

En utilisant un schéma d'Euler, on obtient :

$$\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\alpha_i - \alpha_{i-1}}{\Delta t} -... ...\varphi_{i}}{\Delta t} - \tau^{-1}\varphi_{i+1} = \alpha_{i} \end{array}\right.$$ (2.9)

Soit :

$$\left\{ \begin{array}{ll} \alpha_{i}=(1-\Delta t \tau^{-1})\alpha_{... ...=(1-\Delta t \tau^{-1})\varphi_{i+1} - \Delta t \alpha_{i} \end{array}\right.$$ (2.10)

En faisant les changements de variables $\tilde\varphi=\frac{\varphi}{2\tau}$ et $\tilde\alpha=-\frac{\alpha}{2}$, le système 2.10 devient :

$$\left\{ \begin{array}{ll} -2\tilde\alpha_{i}=-2(1-\Delta t \tau^{-1... ...})\tilde\varphi_{i+1} + 2\Delta t \tau^{-1}\tilde\alpha_{i} \end{array}\right.$$ (2.11)

Soit :

$$\left\{ \begin{array}{ll} \tilde\alpha_{i}=(1-\Delta t \tau^{-1})\t... ...1})\tilde\varphi_{i+1} + \Delta t \tau^{-1}\tilde\alpha_{i} \end{array}\right.$$ (2.12)

On retrouve alors la forme classique du filtre récursif et les conditions limites deviennent $\tilde\alpha_0=0$ et $\tilde\varphi_{n+1}=\frac{1}{2}\tilde\alpha_{n+1}$.