Le spline cubique

Il est possible de fabriquer des interpolateurs polynômiaux qui passent par une série de points ($(x_0,y_0)$, $(x_1,y_1)$, ..., $(x_n,y_n)$). Cependant, ce type d'interpolateur peut parfois beaucoup osciller.

Pour fabriquer un meilleur interpolateur, il faut permettre la courbure entre les points. Pour cela, les dérivées premières et secondes doivent être continues sur l'intervalle $[x_0,x_n]$. L'interpolateur qui lie les points $(x_k,y_k)$ et $(x_{k+1}, y_{k+1})$ est de forme polynômial du troisième ordre :

$$s_k(x) = s_{k,0} + s_{k,1}(x-x_k) + s_{k,2}(x-x_k)^2 + s_{k,3}(x-x_k)^3 \qquad x \in [x_k,x_{k+1}]$$ (3.1)

Et est soumis à ces contraintes :

$$s_k(x) = y_k$$ (3.2)

$$s_k(x_{k+1}) = s_{k+1}(x_{k+1})$$ (3.3)

$$s'_k(x_{k+1}) = s'_{k+1}(x_{k+1})$$ (3.4)

$$s''_k(x_{k+1}) = s''_{k+1}(x_{k+1})$$ (3.5)

L'équation 3.2 exprime l'interpolation de $(x_k,y_k)$, l'équation 3.3 exprime la continuité de l'interpolateur, l'équation 3.4 celle des dérivées premières et l'équation 3.5 celle des dérivées secondes.

A noter que pour chaque spline $s_k(x)$ (à l'exception du dernier), il y a quatre équations et quatre inconnues (les $s_{k,i}$). Pour le dernier spline, il n'y a pas les deux dernières conditions. Il faut donc finir avec deux inconnues de plus que d'équations. Pour fermer le système, il faudra imposer des conditions aux derniers points.