Prise en compte des non-linéarités

À chaque itération de la minimisation, le terme de la fonction coût lié aux observations $J^o(\delta{\mathbf x})$ est calculé en propageant l'incrément $\delta {\mathbf x}$ dans le temps avec le modèle linéaire-tangent ${\mathbf M}$. Le calcul du gradient de la fonction coût, notamment de la partie relative aux observations $\nabla J^o(\delta{\mathbf x})$, nécessite l'intégration de l'adjoint du modèle linéaire-tangent ${\mathbf M}^T$ sur la fenêtre d'assimilation. À la fin de la minimisation, l'incrément d'analyse est ajouté à l'ébauche ${\mathbf x}^b$ (Eq. 5.35). L'état analysé à l'instant initial de la fenêtre d'assimilation ${\mathbf x}^a$ est ensuite propagé par le modèle non-linéaire $M$ jusqu'à la fin de la fenêtre permettant d'obtenir une trajectoire analysée ${\mathbf x}^a(t_i)$. En pratique, il est possible de prendre en compte les faibles non-linéarités des opérateurs $H$ et $M$ en mettant à jour la trajectoire de référence au cours de la minimisation. Ces mises à jours sont aussi appelée boucles externes. Le modèle linéaire est relinéarisé au voisinage du nouvel état de référence à chaque boucle externe et la fonction coût est ensuite minimisée par une série de boucles internes. Cette méthode permet de conserver la fonction coût quadratique tout en tenant compte, jusqu'à un certain point, des non-linéarités du système.